みんなの象徴はNull である

The Symbol for All of Us is Null

いきなり何を言い出すんだ？ と思うかもしれない。

でも本稿を見つけたあなただったら、 きっとこの話はどこかで腹に落ちるだろう。

5分ください

• この世界を理解するために、人類が無意識にやっていること。
• AIがまったく同じことをしていること。
• 数学がそれを綺麗に説明してくれること。

そして最後に、

• なぜ Null がすべての象徴になるのか？

が、一本の線でつながるから。

そして、それがつながったとき、 世界が少しクリアに見えるようになるだろう。

順に語るね。

分かるとは「分ける」こと

世界には、わからないことがたくさんある。

しかし私たちは、それに立ち向かう知恵を持っている。

違う物事に名前を付け、分類することで理解を進める。

丸い果物を

• リンゴ
• ミカン
• 梨

と分けて理解するように。

これは誰もが無意識に行っている、認知のロジックだ。

AIも同じことをしている

AIは言葉を超高次元のベクトルで理解する。

どういうことかって？ ここもちゃんと「分けて理解」しよう。

• 言葉を： 物事や概念にそれぞれIDを振って
• 超高次元の： 数千〜数万個の添え字がつく
• ベクトルで： 向きと長さの矢印に変換可能な配列形式のデータとして
• 理解する： いい感じに整理整頓する

疑似コードで書くとこう

 apple = [2, 3, 5, ...]  
 orange = [3, 5, 7, ...]

 dirOfApple = GetDirection(apple)  
 lenOfApple = GetLength(apple)

• 実際のLLMでは数千〜数万 次元/個の添え字。 人間の感覚からすれば果てしない組み合わせ。

絵で表すと、こうなる。

ChatGPT や Gemini のような LLM(Large Language Model) は、だいたいこの仕組み。
Embedding (埋め込み) ってやつ。

詳しくは 3Blue1Brown の動画を参照されたし。名作ばかりだ。

Transformers, the tech behind LLMs - Deep Learning Chapter 5
GPTとは何か Transformerの視覚化 - Chapter 5, Deep Learning

類比 ↔︎ 対比 / 帰納 ↔︎ 演繹 / 具体 ↔︎ 抽象

大抵のスポーツや武道に基本の型があるように、物の見方・考え方にも基本の型がある。
それがこの3対。 多くの人が無意識にやってる。
だが、一度言語化して意識的に行う訓練をすると、何に対しても理解が早く深くなる。

 類比 ↔︎ 対比 :  リンゴもミカンも甘い。
                      ↑↓
               リンゴは赤い、ミカンは黄色。

 帰納 ↔︎ 演繹 :  木からリンゴが落ちた。引力があるようだ。
                      ↑↓
               枝からとれたミカンは、引力によって地に落ちる。

 具体 ↔︎ 抽象 :  丸くて赤くて甘いリンゴと、丸くて黄色で甘いミカンがある。
                      ↑↓
               丸い果物が2つある。

何をあたり前なことを？ ではもう少しちゃんと説明しよう。
ここからだんだん本気になるよ。
簡単な数学を使う。でも厳密な数学じゃないからどうぞお気楽に。 数式は読み飛ばして全然OK。

類比と対比は「写像」である

類比とは共通点を探すこと。 対比とは相違性を探すこと。

例を示そう。

リンゴは、丸くて、赤くて、甘い
ミカンは、丸くて、黄色で、甘い

これを類比や対比すると

• 類比(Analogy)：同じ方向への線形変換 → リンゴもミカンも甘くて丸い
• 対比(Contrast)：逆方向への線形変換 → リンゴは赤いが、ミカンは黄色

となる。

ベクトル図にするとこうなる。

数式だと、線形写像 $ T_{analogy} $ と $ T_{contrast} $ によって

• $ 類比 : T_{analogy}(\vec{apple}) \uparrow T_{analogy}(\vec{orange}) $

• $ 対比 : T_{contrast}(\vec{apple}) \downarrow T_{contrast}(\vec{orange}) $

と表現できる。

帰納と演繹は「ベクトルの差と和」である

帰納とは過去の具体的な物事から法則を探求する(さがす)こと。
演繹とは法則から未来の具体的な物事を推論する(あてる)こと。

ニュートンの万有引力が良い例だ。

帰納(Induction)： 法則ベクトルの抽出(抜き出し)   
                  → 木からリンゴが落ちた。引力があるようだ。

演繹(Deduction)： 法則ベクトルの重畳(重ね合わせ) 
                  → 枝から離れたミカンは、引力によって地に落ちる。

ベクトル図にするとこうなる。

数式だと関数を使って

• $ 帰納 : \text{Extraction}(\vec{fact_1}, \vec{fact_2}, \dots) \Rightarrow \vec{law} \mid \vec{law} = \vec{facts} - \frac{\sum \vec{noise}}{n} $

• $ 演繹 : \text{Superposition}(\vec{object}) \Rightarrow \vec{future} \mid \vec{future} = \vec{object} + \vec{law} $

と表現できる。

• 帰納は推測。複数の事実を重ねてブレを相殺し、隠れた法則を浮かび上がらせる。
• 演繹は確定。法則は違うことなく未来に当てはまる。

具体と抽象は「情報の増加減による階層の移動」である

- 具体化(Concretize)とはパラメータ(属性)を追加して情報を増やし、認知の階層を下げること。  
  特別な制約はない。 
- 抽象化(Abstract)とはパラメータ(属性)を減らして情報を絞って、認知の階層を上げること。  
  **いい感じの本質に向かって。**

例を示そう。

「果物」という抽象に、「丸型」、「赤色」、「甘い」というパラメータを追加すると
「リンゴ」になる。 「リンゴ」からいろんなパラメータを削減すると「丸型」になる

図にするとこうなる。

数式だと、例えばこう書ける。

• $ 具体化 : \text{Concretize}(\vec{object}) \Rightarrow \vec{object} \oplus \vec{parameters} $

• $ 抽象化 : \text{Abstract}(\vec{object}) \Rightarrow \vec{object} \ominus \vec{parameters} $

「人間」という抽象に、「47歳」と「男」というパラメータを追加すると「おっさん」になるね。

いい感じの本質

情報を減らして物事を抽象化する際、闇雲に減らしていくと、よく分からんことになる。
おっさんから髭を取って皺を取ったら、少年になってしまう。
そうじゃなくて、本質的な情報だけを抽出したい。

そんなときに使えるのが PCA（Principal Component Analysis / 主成分分析）。
PCA? 何それおいしいの？ って人もきっと経験したことがある。

50問ぐらいのアンケートに答えたら、
直感的⇔論理的 vs 外交的⇔内向的 とかのマトリクスに性格分類する奴。
50問のアンケートは 50次元ベクトル。 それを 2次元に落として「性格マップ」にする。

数式で書くとこう。

• 抽出:
  $\text{Extract}(\vec{data}) \Rightarrow \vec{essence} \mid \vec{essence} = Z W_k \mid W_k = [\vec{v}_1, \dots, \vec{v}_k] \text{ where } \Sigma \vec{v} = \lambda \vec{v}$

  …

  • $ Z ： Zero-centering $（中心化）
  • $ W ： Weight $（重み付け）
  • $ \lambda ：$ 固有値 ＝ MECEに整理した各情報のサイズ
  • MECE: Mutually Exclusive, Collectively Exhaustive / モレなくダブりなく

$ k = 2 $ にすれば 2次元のマトリクスになる

これって、私たちが無意識にやっている「ざっくり理解」と同じ。

詳しくはこの動画がおすすめ。

Abstract vector spaces - Chapter 16, Essence of linear algebra
Chapter 16 抽象ベクトル空間 - 線形代数のエッセンス

シンボル(象徴)とは「第1主成分」である

物事を整理していくと重要な情報とそうでない情報があるわけで。
一番重要な情報にシンプルな印を付けて覚えやすくしたくなる。

それがシンボル(象徴)

旗、マーク、王様、アイドル…

人々が何かを象徴として掲げるとき、やっていることはこれ。
みんなが持ってる雑多なベクトルから、一番大事なベクトルに目を向ける。

一番大事なベクトル = PCA の 主成分ベクトル ってわけ。

PCA の第1主成分は「分散が最大の方向」= その集団の情報を最も多く保つベクトル。
みんなを一番よく代表する矢印、つまり象徴だね。

抽象化の極限は？

抽象化(Abstract)は、いい感じの本質に向かって情報を減らすこと。

• 立体の情報をそぎ落として面にする
• 面の情報をそぎ落として線にする
• 線の情報をそぎ落として点にする → $ \mathbb{R}^0 $ にはまだ「一点が存在する」という情報がある。
• その情報すらそぎ落とすと…?

最後に残るのは 何もない空間

それがNull（無）

森羅万象を抽象化し続けると最後はNull (無)になる

だから Null は、

• 誰のものでもなく
• 何の属性も持たず
• すべてのベクトルそぎ落とした究極のシンボルになる

リンゴも、ミカンも、あなたも、私も。

無限次元のノイズを削ぎ落とした先に、誰もが辿り着く同じ空間。 それが Null。

天地開闢、色即是空、ビッグバン….、だいたい同じこと。

同じシンボルに集いし友よ！仲良くしようぜ♪

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